MAYO

   FUNCIONES VECTORIALES 

Se llama función vectorial a cualquier función de la forma

donde las funciones componentes f, g y h son funciones del parámetro t con valores reales. Las funciones vectoriales se denotan con frecuencia por:

Debe quedar clara la distinción entre la función vectorial r y las funciones de variable real f, g y h. Todas son funciones de la variable real t, pero r (t) es un vector mientras que f (t), g (t) y h (t) son números (para cada valor especificado de t).

Las funciones vectoriales juegan un doble papel en la representación de curvas. Tomando como parámetro t el tiempo, las podemos usar para describir el movimiento a lo largo de una curva. Más en general, podemos usar una función vectorial para trazar la gráfica de una curva. En ambos casos, el punto final del vector posición r (t) coincide con el punto (x, y) o (x, y, z) de la curva dada por las ecuaciones paramétricas, como muestra la figura 11.1. La flecha sobre la curva indica el sentido de recorrido, es decir, el sentido de valores crecientes de t.

Salvo que se especifique otra cosa, se considera como dominio de una función vectorial r la intersección de los dominios de las funciones f, g y h. Por ejemplo el dominio de:

 es el intervalo (0, 1]

 

En la ciencia y la ingeniería a menudo es conveniente introducir un vector r con las funciones f y g como componentes.

R(t) = < f(t), g(t)> =f(t)i + g(t)j

Se dice que r es una función vectorial. De manera semejante, una curva en el espacio es parametrizada por 3 ecuaciones 

X = f(t) y = g(t) z = h(t) a " t " b

Una función vectorial se expresa como:

R(t) = < f(t),g(t), h(t) > = f(t) i +g(t) j + h(t)k

Fuente: www.estudiarfisica.com

Limite De Una Función Vectorial.

-- Para que en una función vectorial exista limite debe existir el limite de cada una de sus componentes, si no existe una de ellas el limite no existe.

-- Cuando no existe el limite es una FUNCIÓN DISCONTINUA INVERTIBLE.

-- Para que una función sea continua deben ser continuos cada uno de sus componentes.

*Realizamos ejercicios determinando el limite de funciones vectoriales y para determinar de una función vectorial sus ecuaciones parametricas, cartesianas y realizar el gráfico. 

Fuente: www.estudiarfisica.com

Continuidad de una Función Vectorial:
 La función vectorial tendrá límite  si cumple:

limt→af(t)→=f(a)→

Análisis de la función

F(t)→

 que representa la posición de una partícula 

• Donde la primera derivada de la función representa el vector velocidad de la particula:

i)F′(t)→=v(t)→

• Si sacamos la segunda derivada de la posición obtenemos el vector aceleración:

ii)F"(t)→=a(t)→

  

 POSICIÓN, VELOCIDAD Y ACELERACIÓN

Si la función vectorial \overrightarrow { F } (t) representa la función posición de un móvil en el instante "t", entonces:

r→(t)=(f(t);g(t);h(t))⟶FunciónPosición

 

 

V−→(t)=(f′(t);g′(t);h′(t))⟶FunciónVelocidad

 

A−→(t)=(f"(t);g"(t);h"(t))⟶FunciónAceleración

                                                             LONGITUD DE ARCO

Puesto que la rapidez 2 c´(t) 2 mide la razón de cambio de la distancia recorrida con respecto del tiempo, la distancia recorrida por un punto que se mueve sobre la curva debe ser igual a la integral de la rapidez con respecto al tiempo sobre el intervalo [ t₀ , t₁] que dura el trayecto; es decir, la longitud de la trayectoria, también llamada longitud de arco

Longitud de arco:

La longitud de arco de la trayectoria

c(t) = ( x(t) , y(t) , z(t) )

para t₀ # t # t₁ es:

                                            
                                         

                                                                
                                                            

Lo cual permite reparametrizar la curva de la siguiente manera:

donde:

son las relaciones entre las dos parametrizaciones.

fuente:https://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_vectorial

TRIEDRO MÓVIL

Se le llama triedro movil al sistema de planos perpendiculares entre si que se crean por los vectores tangente, normal y binormal de una curva en el espacio.

• Vector Binormal

• Vector Normal

• Plano Normal

• Plano Osculador

• Plano Rectificante

• Recta Tangente

• Recta Binormal

Tipos de Curvatura


Curvatura de Flexión

Es la razón de cambio de la dirección de la tangente respecto a la longitud de arco.

Curvatura de Torsión.


Representa el alejamiento o acercamiento del plano osculador a la curva C,

FUNCIONES DE DOS O MÁS VARIABLES

El dominio de estas funciones es un vector de n componentes y su rango es un número de los conjuntos de los reales.

f:Rn→R(x1,x2,...,xn)→z=f(x1,x2,..,xn)

• Si f(x,y)=z, el gráfico en R³ es una superficie.
• El dominio de la función f(x,y) será una región del plano XOY o todo el plano XOY.
• El rango o recorrido de f(x,y) es un conjunto de los escalares  z que pertenece a los reales.
• A la gráfica f(x,y,z)=w no se puee representar en R³ pero seria una hipersuperficie. Solo se puede representar en  el dominio de la función.

 Función: una función entre dos conjuntos numéricos es una correspondencia tal que no hay ningún número que tenga más de una imagen.

Dominio o Campo de existencia:

Para una funnción f(x,y) el dominio son todos los valores que cumplan con las condiciones que se tenga dependiendo de cada función.

Se debe realizar tres análisis

1.- Análisis matemático: Encontramos el dominio de manera analítica mediante inecuaciones.

2.-Análisis Gráfico.- Aplicamos lo solucionado anteriormente, se puede graficar primero en un plano cartesiano y de ahí aplicarlo en R³ o directamente en R³.

3.- Análisis Descriptivo.- Se describe el dominio en conclusión al gráfico y al análisis matemático.


Recorrido o rango de una función: es el conjunto formado por las imágenes. Son los valores que toma la función "y" variable dependiente, por eso se denomina f(x), su valor depende del valor que le demos a "x". Graficamente lo miramos en el eje OY de ordenadas, leyendo de abajo a arriba.

CURVAS DE NIVEL

Una curva de nivel es aquella línea que en un mapa une todos los puntos que tienen igualdad de condiciones y de altura. Las curvas de nivel suelen imprimirse en los mapas en color siena para el terreno y en azul para los glaciares y las profundidades marinas.
Las curvas de nivel de una función f(x,y) son las curvas cuyas ecuaciones f(x,y)=k, donde k es una constante(en el rango de f).

En el gráfico los valores: 300, 200, 100 y 0 son diferentes valores que toma k.

NOTA:

Si f(x,y,z)=k se generan las superficies de nivel

Si f(x,y,z,w)=k entonces se generan las hipersuperficies de nivel

fuente: www.fisicogenio.com

Límites

Sea f una función de dos variables, el entorno de aproximación a (Xo, Yo) , es un disco de centro  (Xo, Yo) y de radio r=d .

Gráficamente, esta definición de límite implica que para cualquier punto  (x , y) diferente de (Xo, Yo) en el disco de radio d ,  el valor de f (x,y) esta entre L+ E y L-E. donde L es el limite de  f (x,y).

CONTINUIDAD

• Sea f(x,y)=z una función de dos variables, se dice que es continua si cumple la condición:
• Si no cumple, entonces la función es discontinua y si es así puede ser evitable y se re define en caso de ser posible o se dice que es discontinua inevitable.

Son discontinuas evitables cuando:

Es discontinua inevitables cuando:

Derivadas Parciales

En el calculo de derivadas parciales es licito el uso de las reglas de derivación para funciones de una variable real.

INTERPRETACIÓN FÍSICA: las derivadas parciales físicamente representan una razón de cambio de las variables de la función.

INTERPRETACION GEOMÉTRICA:  la derivada parcial fx en el punto (xo,yo) representa la tangente (pendiente) de la curva en el punto xo.


DERIVADAS PARCIALES DE ORDEN SUPERIOR


En R2

En R3

Solo si f(x,y) es continua:

• Existen 2ⁿ  derivadas de orden ´´n´´.
• En R⁴ → Existen  3ⁿ  derivadas de orden ´´n´´. 
  
  f:  Rⁿ → R
  (X1, x2, x3,....,xn)→ u=f(X1, x2, x3,....,xn)
  
  
  • Existen n^m derivadas de orden ´´m´´.

Fuente: www.estudiarfisica.com